27. الدوائر الأساسية ( قانونا كيرشوف للدوائر الكهربية - Current Loop - Thevenin’s Theorem - التحويل بين دلتا الي نجمة - Norton Equivalent

1-  قانونا كيرشوف للدوائر الكهربية

ينص قانون كيرشوف الأول علي : في اي شبكة من الموصلات يكون المجموع الجبري للتيارات عند نقطة تجميع Junction  مساويا للصفر. و يعني ذلك أن مجموع التيارات الداخلة علي النقطة مساويا لمجموع التيارات الخارجة ، وهذا صحيح لعدم وجود تخزين أو  نقص عند هذه النقطة.  والشكل (1) يوضح النقطة A  ومجموعة من التيارات المختلفة و المعادلات الخاصة بالتيارات.

Assuming the incoming currents to be positive and the outgoing currents negative, we have 
            I1 + (-I2) + (-I3) + I4 + (-I5) = 0

or I1 + I4 - I2 - I3 - I5  = 0

or I1 + I4 = I2 + I3 + I5 

or Incoming Current = Outgoing Current
We can express the above conclusion thus

Σ I = 0 at any junction

شكل (1)

و ينص قانون كيرشوف الثاني علي : المجموع الجبري لحاصل ضرب التيار في المقاومة في مسار مغلق closed mech زائد المجموع الجبري للقوة الدافعة الكهربية في هذا المسار يساوي الصفر . والعلاقة التالية تلخص هذا القانون:

Σ IR + Σ  e.m.f. = 0          round mesh

و لتحديد الأشارة يتم اتباع التالي:
  1. القوة الدافعة المتزايدة : +
  2. القوة الدافعة المتناقصة : -
  3. مع اتجاه التيار في المقاومة : -
  4. عكس اتجاه التيار في المقاومة : +

و يوضح الشكل (2) مثالا لتطبيق اشارة الجهد الكهربي داخل حلقة مغلقة في اتجاه  ABCD. 


I1R1 is –ve  (fall in potential)

I2R2 is –ve  (fall in potential)

13R3 is –ve (fall in potential)

I4R4 is +ve  (rise in potential)

E2      is –ve  (fall in potential)

E1       is +ve  (rise in potential)

و بتطبيق قانون كيرشوف الثاني:

-I1R1 - I2R2 - 13R3 + I4R4 - E2 + E1 = 0

I1R1 + I2R2 + 13R3 - I4R4 = E2 - E1

شكل (2)

اتجاه التيار

عند تطبيق قانونا كيرشوف للدوائر الكهربية يتم فرض اتجاه التيار مع الساعة أو عكس الساعة و في حالة أن يكون الفرض معاكسا للواقع تنتج اشارة سالبة للتيار. و يتم استخدام الفرض خلال كل المعادلات. و يمكن تطبيق قانونا كيرشوف لدوائر التيار المستمر و التيار المتردد. و في حالة التيار المتردد يلزم اعتبار الجهد علي المكثف و المحاثة.


2- طريقة ماكسويل لحلقة التيار Current Loop 

في هذه الطريقة يتم اعتبار التيار في شكل حلقة loop  و ليس في شكل فرع branch كما في حالة قانون كيرشوف علي أن يتم استخدام نفس طريقة تحديد الاشارات . و يوضح الشكل (3) مثالا لهذه الطريقة. و يمكن استنتاج تيار الفرع من تيارات الحلقة  كالتالي : 

التيار في المقاومة  R4  يساوي :  (I1 - I2)

التيار في المقاومة  R5  يساوي :  (I2 I3)


شكل (3)

و القاعدة العامة لحساب التيار داخل الحلقة أن يتم طرح تيار الحلقة الأخري المعاكس. و فيما يلي معادلات الجهد الكهربي للحلقة في المثال الموضح في الشكل (3).    

Loop ABCDA:

Starting from point A, we have

- I1 R1 – R4 (I1 I2) + E1 = 0

Simplifying it further, we have

I1 (R1 + R4) - I2 R4 = E1 …(i)

Loop BEFCB:

Starting from point B, we have

- I2 R2 – R5 (I2 I3) – R4 (I2 I1) = 0

Or I1 R4 – I2 (R2+ R4+ R5) + I3 R5 = 0 …(ii)

Loop EGHFE:

Starting from point E, we get

- I3 R3 – E2 – R5 (I3 - I2) = 0

or I2 R5 – I3 (R3 + R5) = E2 …(iii)

و يتم حساب التيارات الثلاثة من حل المعادلات الثلاثة.


3- نظرية سفننس Thevenin’s Theorem

تنص هذه النظرية انه لأي شبكة كهربية يمكن حساب مكافئ كهربي بين طرفين يتكون من مصدر  قوة دافعة كهربية ( مصدر سفننس ) و متصل علي التوالي بممانعة كهربية أو بمقاومة في حالة شبكات المقاومات. ويتم حساب المصدر الكهربي و المقاومة الداخلية طبقا للتالي :

  1. قيمة جهد المصدر تساوي جهد الدائرة المفتوحة بين الطرفين 

  2. قيمة المقاومة الداخلية تساوي مكافئ المقاومة المحسوبة بين الطرفين مع عدم اعتبار  مصادر الجهد .  

و تستخدم هذه الطريق لحساب التيارات في الدوائر المعقدة. و يوضح الشكل (4) مثالا لاستخدام هذه الطريقة. و المطلوب حساب التيار في المقاومة R3  في الشكل (4-أ) و لذا يتم فتح الدائرة بين الطرفين  A-B .   و يلي ذلك حساب الجهد الكهربي للدائرة المفتوحة بين الطرفين A-B في الشكل (4-ب) طبقا للتالي :

V=drop across R2 = I R2 

Where I is the circuit current when A and B are open.

I = E / (R1+ R2+r)

Then V= I R2= E R2 / (R1+ R2+r)


شكل (4)

و يلي ذلك حساب مكافئ المقاومة بين A-B بعد استبعاد المصدر E ومع اعتبار المقاومة الداخلية r، و في هذه الحالة تكون الدائرة عبارة عن مقاومتان علي التوازي كما في الشكل (5-أ).  و المقاومة المكافئة يتم حسابها طبقا للتالي:

R = R2 (R1 + r)/ [R2 +(R1 + r)]

شكل (5)

و بالتالي يمكن تحويل الشبكة بين الطرفين A-B الي مصدر سفننس V و المقاومة الداخلية R كما في الشكل (5-ب). ويمكن حساب التيار في المقاومة R3 بعد توصيلها بين الطرفين A-B كالتالي: 

I = V / (R + R3)

4- التحويل بين دلتا الي نجمة

يتم استخدام هذه الطريقة في حل الشبكات المعقدة عن الطريق التحويل من دلتا الي نجمة أو العكس. و  يوضح الشكل (6-أ) دائرة في شكل دلتا و تحويلها الي نجمة في الشكل (6-ب). و يمكن استنتاج العلاقة عن طريق تساوي الجهد الكهربي لكل من الدائرتين و نحصل علي العلاقة التالية بين مقاومات الدلتا و مكافئها من النجمة.


شكل (6)


R1 = R12 R31 /(R12 + R23 + R31)

R2 = R23 R1 2 /(R12 + R23 + R31)

And R3 =   R31 R23 /( R12 + R23 + R31)

كما نحصل علي العلاقة التالية بين مقاومات النجمة و مكافئها من الدلتا.

R12 = (R1 R2 + R2R3+ R3R1)/ R3= R1 + R2+ R1 R2 / R3

R23 = (R1 R2 + R2R3+ R3R1)/ R1= R2 + R3+ R2 R3 / R1

R31 = (R1 R2 + R2R3+ R3R1)/ R2= R1 + R3+ R1 R3 / R2


5- مكافئ نورتن Norton Equivalent

يمكن استخدامه لتحديد مكافئ للدوائر الكهربية و لكن في صورة مصدر تيار مع مقاومة علي التوازي. ويمكن استنتاجه من مكافئ سفننس كالتالي :

I = Vth / Rth

و يوضح الشكل (7) التناظر بين مكافئ سفننس و مكافئ نورتن.

شكل (7)

Example (1):

Determine the current x in the 4-ohm resistance in the circuit shown in Fig. (8(a)) below.

Solution:

The assumed distribution of current is shown in Fig. (8(b)). Applying Kirchhoff’s laws to different closed loops, we get

Circuit EFADE:

-2y + 10z + (x – y – 6) = 0

or x – 3y + 10z = 6 …(i)

Circuit ABCDA :

-2(y + z + 6) – 10 + 3(x – y – z – 6) –10z = 0

or 3x – 5y – 15 z = 40 …(ii)

Circuit EDCGE :

-(x – y – 6) – 3(x – y – z – 6) – 4x + 24 = 0

or 8x – 4y – 3z = 48 …(iii)

Multiplying equation (i) by 5 and equation (ii) by 3 and then subtracting equation (ii) from equation (i), we get

-4 x + 95 z = -90

4 x – 95 z = 90    …(iv)

Fig. (8)

Next, multiplying equation (ii) by 4 and equation (iii) by 5 and subtracting equation (iii) from equation (ii), we get

-28 x – 45 z = -80

or 28 x + 45 z = 80 …(v)

Multiplying equation (iv) by 45 and equation (v) by 95 and adding the two, we get : 2840 x = 11650

or 284 x = 1165

x = 1165 / 284 =  4.1 A

Example (2):

Find I1, I2 and I3 in the network shown in Fig. (9), using loop-current method. Numbers against resistances indicate their values in ohms.

Fig. (9)

Solution:

Different loops would be taken one after another.

Loop ABCDA:

- 10 I1 – 20(I1 I2) –10 = 0

or 3 I1 –2I2 = – 1 …(i)

Loop BEFCB:

40 – 20 I2+ 10 10 (I2 I3) – 20(I2 I1) = 0

or 2 I1 –5I2 + I3 = – 5 …(ii)

Loop EGHFE:

- 10 I3+50 –10(I3 I2) – 10 = 0

or I2– 2 I3= – 4 …(iii)

  1. Multiplying equation (ii) by 2 and adding it to equation (iii), we get

4 I1 – 9 I2= – 14 …(iv)

Solving for I1 and I2 from equation (i) and (iv), we get:

I1 = 1A and I2 = 2A

Solving these values in equation (iii), we have, I3=3A


Example (3):

With reference to the network of Fig. (10), (where the number against resistances indicate their values in ohms and the internal resistance of the battery is given 1 Ω) by applying Thevenin’s theorem, find the following:

(i) The equivalent e.m.f. of the network when viewed from terminals A and B.

(ii) The equivalent resistance of the network when looked into from terminals A and B.

(iii) Current in the load resistance RL of 15Ω 

Solution:

  1. Current in the network after load resistance has been removed [Fig. (10(b))]=24/(12+3+1)=1.5A

Then voltage across terminals AB=V=12*1.5=18V

Hence, so far as terminals A and B are concerned, the network has an e.m.f. of 18 volt (and not 24V).

(ii) There are two parallel paths between points A and B [Fig. (11(a))]. Imagine that battery of 24V is removed but not its internal resistance. Then equivalent resistance of the circuit as looked into from points A and B is

R=12*4/(12+4)=3 Ω 

Fig. (10)

 (iii) When load resistance of 15Ω is connected across the terminals, then the network is reduced to the structure shown in Fig. (2.9(b)). Then I=18/(15+3)=1A.

Fig. (11)

Example (4):

Three resistances R, 2R and 3R are connected in delta, Fig. (12(a)). Determine the resistances for an equivalent star connection. In Fig. (13), 160 volts are applied to the terminals AB. Determine (a) the resistance between the terminals A and B and (b) the current.

Fig. (12)

Fig. (13)

Solution:

The three resistances are joined in delta in Fig. (12(a)). 

We have in Fig. (12(b))

R1 = R x 3R /( R + 2R + 3R) = R/2

R2 = R x 2R /6 R = R/3

R3 = 2R x 3R / 6R= R

Take the network of Fig. (13). The three resistances of 100 Ω, 60 Ω and 40 Ω are delta connected between terminal points C, D and E as shown in Fig. (14(a)). They can be converted into equivalent star connection as shown in Fig. (14(b)).

Fig. (14) 

R1 = 60 x 100 /(60+100+40) = 30 Ω

R2 = 100 x 40 / 200           = 20 Ω

R3 = 40 x 60 / 200           = 12 Ω

Then the network of Fig. (14) is reduced to a simple structure of Fig. (15(a)).

As seen, there are two parallel paths between points S and B, one of resistance (20 + 80)=100 Ω and the other also of (12 + 88) = 100 Ω. Hence, equivalent resistance between points S and B

= 100 x 100 / 200 = 50 Ω

The whole network is reduced to a simple circuit of Fig. (15(b)).

  1. Then resistance between points A and B = 30 + 50 = 80 Ω.

  2. Current I = 160 / 80 = 2 A


Fig. (15)