26. الظواهر العابرة في دوائر التيار المستمر -2 Transients in DC Circuits II

1- التصرف الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة Natural Response of RLC Circuit

دراسة الصرف الطبيعي للدائرة يعني ايجاد علاقة الجهد الكهربي علي مكونات الدائرة المتصلة علي التوازي عند اطلاق الطاقة المخزنة بالملف أو بالمكثف. و يمكن استخدام الدائرة الموضحة بالشكل (1) ، حيث القيمة الابتائية للجهد الكهربي علي المكثف V0 تعبر عن الطاقة المخزنة بالمكثف ، و التيار المبدئي I0 بالملف يعبر عن الطاقة المخزنة بالملف. 

1- التصرف الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة Natural Response of RLC Circuit

شكل (1)

و سيتم تحديد التصرف الطبيعي بايجاد المعادلات التفاضلية للجهد v عن طريق تجميع التيار في النقطة العلوية و حساب التيار بدلالة الجهد كالتالي :   

(1)

(2)

(3)



2- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوازي Step Response of Parallel RLC Circuit

يتضمن هذا الجزء ايجاد الجهد الكهربي في حالة التطبيق الفجائي لمصدر جهد كهربي. و يوضح الشكل (2) الدائرة المستخدمة في التحليل. 

2- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوازي

شكل (2)

و سيتم التركيز علي التيار في الملف iL حيث انه يمثل القيمة النهائية للتيار المسحوب من المصدر، كما سيتم افتراض عدم وجود طاقة مخزنة في الدائرة. و يلزم حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية و عن طريق تطبيق قانون كيرشوف للتيار نحصل علي:

(4)

or

(5)

(6)

(7)

(8)


(9)

حل المعادلة : 

يمكن حل المعادلة بدلالة القيم الابتدائية للدالة iL(0)  و diL(0)/dt و بالتالي نحصل علي حل يشمل جزئين : التصرف الطبيعي و التصرف المفروض.

       i = If + function of the same form as the natural response (10)

or

      v = Vf + function of the same form as the natural response (11)

حيث If و Vf القيم النهائية للدالة.



3- حساب التصرف الزمن الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة علي التوالي  The natural responses of a series RLC circuits

يمكن حساب التصرف الزمني الطبيعي بتحليل الدائرة الموضحة بالشكل (3) ، و نبدأ بحساب الجهد الكهربي في الدائرة المغلقة  كالتالي:

(12)

و بالتفاضل بالنسبة للزمن نحصل علي :  

(13)

(14)

3- حساب التصرف الزمن الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة علي التوالي  The natural responses of a series RLC circuits

شكل (3)


و يمكن ايجاد المعادلة الخاصة للدائرة كالتالي:   

(15)

و جذور المعادلة كالتالي :

   (16)

or

(17)

و تردد النيبر  (α)  يمكن ايجادها كالتالي:  

(18)

و تردد الرنين :

(19)

و توجد ثلاثة حلول للتيار : 


(overdamped) (20)

(underdamped) (21)

(critically damped) (22)



4- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوالي  Step Response of Series RLC Circuit

تتشابه طريقة الحل مع الدائرة علي التوازي و لكن يتم الحل بالنسبة الي الجهد علي المكثف ، وسيتم استخدام الدائرة الموضحة بالشكل (4) في التحليل مع افتراض أن الطاقة المخزنة في البداية تساوي صفر. 

4- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوالي  Step Response of Series RLC Circuit

شكل (4)

و بتطبيق قانون كيرشوف للجهد نحصل علي:

(23)

و يرتبط التيار i بالجهد علي المكثف vC بالعلاقة :

(24)

(25)

(26)

و توجد ثلاثة حلول :

(overdamped) (27)

(underdamped) (28)

(critically damped) (29)

حيث Vf القيمة النهائية للجهد علي المكثف vC و هو كما يظهر من الشكل (5) سيساوي جهد المصدر V.


Example (5):

The initial energy stored in the circuit is zero. At t = 0, a dc current source of 24 mA is applied to the circuit. The value of the resistor is 400 Ω.

  1. What is the initial value of iL?

  2. What is the initial value of diL/dt?

  3. What are the roots of the characteristic equation?

  4. What is the numerical expression for iL(t) when ?


Solution:

  1. Since the initial current in the inductor is zero, the inductor prohibits an instantaneous change in its current. Therefore IL(0) = 0 immediately after the switch has been opened.

  2. The voltage at the capacitor is zero at t = 0. Because v = L diL/dt, then:

  1. From the circuit elements, we obtain:

    and 

    Because , the roots of the characteristic equation are real and distinct, thus:

  1. The inductor current response will be overdamped. Thus:

Hence, from this solution, the two simultaneous equations which determine and are:

Solving for and gives:

and

The numerical solution for iL(t) is

Example (6):

No energy is stored in the inductor or the capacitor when the switch is closed. Find vC(t) for .


Solution:

The roots of the characteristic equation are

The roots are complex, so the voltage response is underdamped. Thus

No energy is stored in the circuit initially, so both vC(0) and dvC(0+)/dt are zero. Then:

and 

Solving these two equations:

and

Therefore the solution for vC(t) is