25. الظواهر العابرة في دوائر التيار المستمر -1 Transients in DC Circuits I

1. أهداف مقدمة

يلزم التعرف علي أداء الدوائر الكهربية في الحالة العابرة نظرا لامكانية حدوث بعض الظواهر مثل الأرتفاع الكبير في قيمة الجهد أو التيار مما يسبب أضرارا لهذه الدوائر و الأجهزة المتصلة بها. وتظهر الحالة العابرة في حالة التغيير المفاجئ في الدائرة الكهربية مثل فتح أو غلق مفتاح في دائرة تحتوي علي مصدر جهد و مكونات مثل المقاومة و المحاثة و المكثف. و سيتم دراسة مجموعة من الدوائر التي تحتوي علي تباديل من هذه المكونات نظرا لاختلاف الظواهر الناشئة طبقا لنوعية مكونات الدائرة. 


2.  التصرف الطبيعي لدائرة مقاومة مع ملف R-L Circuit

يمكن تحديد التصرف الطبيعي لدائرة كهربية تضم مقاومة مع ملف عن طريق الدائرة الموضحة بالشكل (1) ،  حيث يمكن افتراض أن التيار المار في الدائرة ثابت القيمة و بالتالي الجهد الكهربي علي الملف يساوي الصفر  مماثل لحالة القصر (Ldi/dt =0 ) . و بالتالي لايمر تيار في المقاومة R أو في المقاومة R0 و يمر كل تيار مصدر التيار  Is في الملف L .


و يمكن أن ندرس التصرف الطبيعي بايجاد التغير الزمني للتيار i(t)   و الجهد v(t) علي الملف و المقاومة بعد فتح المفتاح عند t = 0  . ويمكن في هذه الحالة t > 0 استخدام الدائرة الموضحة في الشكل (2) .


التصرف الطبيعي لدائرة مقاومة مع ملف R-L Circuit

شكل (1) 

التصرف الطبيعي لدائرة مقاومة مع ملف R-L Circuit

شكل (2) 

ايجاد معادلة التيار

سيتم استخدام قانون كيرشوف لحساب الجهد الكهربي علي المسار المغلق الذي يضم المقاومة مع الملف كالتالي :

L di/dt + R i=0 (1)

و هي معادلة تفاضلية من الدرجة الاولي و بحدود ثابتة و يمكن حلها طبقا للخطوات التالية:

di/dt * dt = - R/L i *dt (2)

di/i= - R/L dt (3)

(4)

(5)

حيث i(0) هو قيمة التيار عند الزمن صفر ( لحظة فتح المفتاح) و بالتالي يمكن الحصول علي دالة التيار مع الزمن كالتالي: 

i(t) = i(0) e-(R/L)t (6)

و نظرا لأن قيمة التيار داخل الملف لايمكن أن تتغير فجائيا و علي ذلك يكون مساويا I0 و تكتب المعادلة كالتالي :

i(t) = I0  e-(R/L)t (7)

و يمكن ايجاد قيمة الجهد الكهربي علي المقاومة بتطبيق قانون أوم كحاصل ضرب التيار في المقاومة كالتالي: 

V = i R = I0  R e-(R/L)t, t > 0 (8)

و يوضح الشكل (3) المنحني الزمني للتيار. و يظهر من الشكل و كذلك من المعادلات أن الثابت الزمني للدائرة  time constant يمكن حسابه من العلاقة:

τ = time constant = (9)


المنحني الزمني للتيار

شكل (3)

و يمكن كتابة علاقة التيار و الجهد كالتالي :

i(t) = I0  e-t/ τ (10)

V= I0 R e-t/ τ , t > 0 (11)



3-  تصرف دائرة مقاومة مع ملف في حالة التغير الفجائي  Step Response of R-L Circuit

سيتم دراسة تصرف دائرة مقاومة مع ملف في حالة التغير الفجائي للجهد أو التيار . و الشكل (4) يوضح الدائرة المستخدمة للدراسة ، حيث سيتم غلق الدائرة عند الزمن صفر t=0 و تكون الطاقة الكهربية المخزونة في الدائرة دالة في التيار قبل غلق الدائرة   i(0) . 

3-  تصرف دائرة مقاومة مع ملف في حالة التغير الفجائي  Step Response of R-L Circuit

شكل (4)

و بتطبيق قانون كيرشوف  نحصل علي :

(12)

و بفصل المتغيرات نحصل علي :

(13)

(14)

(15)

(16)

حيث Iقيمة التيار عند الزمن t=0 و التيار i(t) قيمة التيار عند الزمن t>0 ، و بإجراء التكامل نحصل علي :

(17)

or  (18)

و في حالة عدم تواجد طافة مخزنةفي الملف يكون  Io مساويا للصفر و بالتالي :

(19)

و تبين هذه المعادلة ان التيار يبدأ من الصفر و يتزايد بمعدل أسي و يصل لقيمة نهائية Vs /R وبثابت زمني L/R و تكون قيمة الجهد علي الملف Ldi/dt للزمن t>0 مساويه :

(20)


و يتضح ان الجهد علي الملف يكون مساويا للصفر قبل غلق المفتاح و يتزايد فجأة الي   Vs – Io R في لحظة الغلق و يعني ذلك أن الملف يمنع التزايد المفاجئ للتيار في الدائرة. و في حالة أن يكون تيار الملف مساويا للصفر في البداية تصبح العلاقة كالتالي  :

(21)


4- التصرف الطبيعي لدائرة مقاومة- مكثف Natural Response of R-C Circuit

يتشابه التصرف الطبيعي مع دائرة مقاومة-ملف و يمكن دراسة هذه الخاصية باستخدام الدائرة الموضحة في الشكل (5).

4- التصرف الطبيعي لدائرة مقاومة- مكثف Natural Response of R-C Circuit

شكل (5)

بفرض أن المفتاح في الوضع a لوقت طويل مما يسمح للدائرة المكونة من المقاومة R1 و المكثف C المتصلة بمصدر الجهد Vأن تصل الي حالة الاستقرار  مما يعني أن التيار صفر و أن الجهد متواجد بالكامل علي المكثف. و بتحويل وضع المفتاح الي b يمكن تمثيل الدائرة بالشكل (6).

و بتحويل وضع المفتاح الي b يمكن تمثيل الدائرة بالشكل (6).

شكل (6)


و توضح المعادلات التالية تغير الجهد الكهربي مع الزمن v(t) علي المقاومة 

(22)

(23)

حيث القيمة v(0) أو V0 هي قيمة الجهد الابتدائية علي المكثف . و يمكن حساب قيمة الثابت الزمني المحدد للتغير الزمني للجهد و تغير الجهد كالتالي : 

(24)

(25)

كما يمكن حساب التيار و القدرة و الطاقة من العلاقات :

(26)

(27)

(28)



5-  تصرف دائرة مقاومة مع مكثف في حالة التغير الفجائي  Step Response of R-C Circuit

سيتم دراسة تصرف دائرة مقاومة مع مكثف في حالة التغير الفجائي للجهد أو التيار . و الشكل (7) يوضح الدائرة المستخدمة للدراسة . 

5-  تصرف دائرة مقاومة مع مكثف في حالة التغير الفجائي  Step Response of R-C Circuit

شكل (7)

و باستخدام مكافئ نورتن ، و بحساب مجموع التيار في النقطة العلوية نحصل علي العلاقات التالية :

(29)

(30)

(31)

حيث vc الجهد الكهربي علي المكثف و له القيمة الابتدائية عند الزمن صفر V0 . و التيار نحصل عليه من المعادلة التفاضلية: 

(32)

(33)


Example 5.1:

The switch in the above circuit has been closed for a long time before it is opened at t=0. Find:

  1. iL(t) for t>0-;
  2. i0(t) for t>0-
  3. v0(t) for t>0-
  4. The percentage of the total energy stored in the 2 H inductor that is dissipated in the 10 Ω resistor.

Solution:

The switch has been closed for a long time prior to t=0, so the voltage across the inductor must be zero at t=0-. Therefore the initial current in the inductor is 20 A at t=0-. Hence, iL(0+) also is 20 A because an instantaneous change in the current cannot occur in an inductor. Replacing the resistive circuit connected to the terminals of the inductor with a single resistor of 10 Ω:
The time constant of the circuit is L/Req, or 0.2 s, giving the expression for the inductor current as
, .
The current in the 40 Ω resistor is calculated by using current division; that is:

Note that this expression is valid for t>0- only (why). Then:
, .
By direct application of Ω’s law, the voltage v0:
, .
The power dissipated in the 10 Ω resistor is:
,
The total energy dissipated in the 10 Ω resistor is
.
The initial energy stored in the 2 H inductor is
.
Therefore the percentage of energy dissipated in the 10 Ω resistor is
Percentage dissipated = 256/400 (100)= 64%.

Example 5.2:

The switch has been in position (a) for a long time. The switch then moves to the other position (b). The switch has been in position (a) for a long time. The switch then moves to the other position (b).

a. Find the expression for i(t) at the position (b),

b. What is the initial voltage across the inductor just after the switch has been moved to position (b),

c. Does this initial voltage make sense in terms of circuit behavior?

d. How milliseconds after the switch has been moved does the inductor voltage equal 24 V?

e. Plot v(t) versus t.



Solution:

The switch has been for a long time in position (a), so the inductor is a short circuit across the 8A current source. Therefore the inductor carries an initial current of 8 A. This current is oriented opposite to the reference direction for i; thus I0 is –8 A. When the switch is in position (b), the final value of i will be 24/2=12 A. The time constant of the circuit is 200/2 or 100 ms. Then :

The voltage across the inductor is shown in the attached figure as :

Yes, in the instant after the switch has been moved to position (b), the inductor sustains a current 8 A which causes a 16 V drop across the 2 Ω resistor. This voltage drop adds to the drop across the source, producing a 40 V drop across the inductor.
Solving the expression:
then t=51.08 ms.

   


Example 5.3:

The switch in the circuit has been in position x for a long time. At t=0, the switch moves instantaneously to position y. Find:The switch in the circuit has been in position x for a long time. At t=0, the switch moves

  1. vc(t) for ,
  2. vo(t) for ,
  3. io(t) for and
  4. The total energy dissipated in the 60 KΩ resistor.

Solution:


Because the switch has been in position
x for a long time, the capacitor will charge to 100V and be positive at the upper terminal. Replace the resistive network connected to the capacitor at t=0+ with a single 80 KΩ resistor. Hence the time constant of the circuit is , or 40 ms. Then:
, .
The easiest way to find vo(t) is to note the resistive circuit forms a voltage divider across the terminals of the capacitor. Thus 
, .
From Ω’s law:
, .
The power dissipated in the 60 KΩ resistor is
, .
The total energy dissipated is


Example 5.4:

The switch has been in position (1) for a long time. At t=0, the switch moves to position (2). Find:The switch has been in position (1) for a long time. At t=0, the switch moves to position (2)

vo(t) for and
io(t) for .

Solution:

  • The initial value of vo is 40(60/80) = 30 V. Find the Norton equivalent with respect to the terminals of the capacitor for , by first computing the open-circuit voltage, which is given by –75 V source divided across the 40 KΩ and 160 KΩ resistors:

Next, calculate Thevenin resistance, as seen to the right of the capacitor, by shorting the –75 V source and making series and parallel combinations of the resistors:

RTH = 8000 + 40,000 || 160,000 = 40 kΩ 

The value of the Norton current source is the ratio of the open-circuit voltage to the Thevenin resistance, or –60/(40 x 103) = -1.5 mA: 


Noting that vo(0) = 30 V, IsR = -60 V and RC = 10 ms, so the solution for vo is:


  • Noting that Is = -1.5 mA and vo/R = (30/40) x 10-3 or 0.75 mA: